¿Sabías que la incertidumbre de medición es el mejor indicador de calidad que puede tener tu laboratorio? Pues sí que lo es!

En nuestra guía para estimar la incertidumbre, que espero que la hayas leído, vimos un poco acerca de los tipos de incertidumbre, la tipo A y la tipo B, las cuales vamos ampliar en esta publicación.

Si comprendes y sabes aplicar estos dos conceptos tendrás el sartén por el mango, ya que son la base para todo el proceso de estimación de la incertidumbre dentro de tu laboratorio.

Empecemos!

 

Componente de incertidumbre tipo A

 

Según el VIM, Vocabulario Internacional en Metrología, la incertidumbre  tipo A es la “evaluación de un componente de la incertidumbre de  medición mediante un análisis estadístico de los valores de las cantidades medidas obtenidas en condiciones definidas».

Dicho en otras palabras, es un método en el cual llevas a cabo un proceso para obtener mediciones repetidas de una magnitud particular. Este proceso debe llevarse a cabo en condiciones conocidas. 

Al final del proceso se obtienen datos que te permiten estimar la incertidumbre, a veces llamada también incertidumbre típica tipo A, la cual se simboliza con la letra “u” minúscula.

Los datos obtenidos se recopilan y analizan para obtener los componentes de la incertidumbre. Estos componentes son variables a partir de las cuales se obtiene la incertidumbre típica.

Para el caso de la incertidumbre tipo A los componentes más importantes son: la media, la desviación estándar y los grados de libertad. Que no cunda el pánico, iremos limpiando el camino hasta ver el horizonte despejado!

 

Definiciones previas

 

Antes de comenzar a explicar cómo estimar este tipo de incertidumbre aclaremos algunos conceptos mostrados anteriormente y otros que pueden ser de mucha ayuda.

 

Media, promedio o media aritmética

 

Es una variable de tendencia central de datos agrupados que indica el valor más probable relacionado con un evento aleatorio.

¿Qué quiere decir esto? Bueno, pongamos un ejemplo para entender realmente el concepto, lo cual considero muy importante.

Consideremos el caso de la medición del pH de una solución Buffer neutra.

Supongamos además que vamos a realizar la medición con un equipo que permite obtener más de cuatro cifras decimales en el valor medido.

Si realizamos varias mediciones nos encontramos que ninguno de los valores medidos es exactamente 7. Esto se observa en las cifras decimales que nos muestra el equipo de medición.

Sin embargo, también nos percatamos que aunque los valores medidos no son exactamente 7, la mayoría de ellos se acercan hacia ese valor, ya sea por encima o por debajo.

Entonces el valor de 7 sería nuestro promedio, es decir, nuestro valor esperado. La característica de esta variable es que todos los valores obtenidos de los  experimentos o eventos aleatorios que hemos realizado se acercan, ya sea por mucho o por poco, hacia ese valor.  

Ecuación

Se expresa mediante la fórmula:

Donde X barra  es el promedio,  n es el número de experimentos (eventos) y  Xi es el valor de un evento particular.

Como se calcula

 

  1. Sumar todos los valores obtenidos en el experimento
  2. Contar el número de experimentos
  3. Dividir la suma del paso 1 entre el valor del paso 2

 

Desviación estándar

 

Hace referencia a que tan alejados están los valores agrupados del valor esperado o promedio.

Consideremos el ejemplo anterior para explicarlo  mejor.

Supón que dentro de tus valores obtenidos hay un experimento que arrojó un pH igual a 9,2. En este caso el valor está alejado por encima del promedio en 2,2 unidades de pH. 

De tu experiencia, sabrás que una medida tan sesgada es incorrecta. En este caso tenemos un valor que posee una desviación estándar elevada.

Por el contrario, si encontramos que la mayoría de valores se encuentran cercanos al valor del pH neutro de la solución Buffer, entonces tendríamos que la desviación estándar es pequeña.

La desviación estándar toma cada valor de cada experimento y lo compara con el valor promedio. Todas estas comparaciones (diferencias) son acumuladas o sumadas. Al final se obtiene el valor de la desviación estándar.

 

Ecuación

Donde σ es la desviación estándar,  n es el número de experimentos (eventos), Xi  es el valor de un experimento particular y X barra es el promedio.

Como se calcula

 

  1. A cada valor de cada experimento se le resta el valor promedio.
  2. El valor obtenido en cada paso se eleva al cuadrado.
  3. Se suman todos los valores obtenidos en el paso 2.
  4. Se resta la unidad al valor de .
  5. Se divide el valor obtenido en el paso 3 entre el valor del paso 4.
  6. Al valor del paso 5 se le aplica la raíz cuadrada.

 

Grados de libertad

 

Es un valor útil que se puede usar para determinar parámetros como los intervalos de confianza o los factores de cobertura.

Es un concepto un poco ambiguo. Hace referencia al número de observaciones en los datos que pueden variar libremente cuando se calculan los parámetros estadísticos. Sin embargo es muy fácil para determinarlo.

Ecuación

 

v = n – 1

 

Donde n es el número de observaciones.

 

Como se calcula

 

  1. Determinar el número de experimentos.
  2. Restar la unidad al valor obtenido en el paso 1.

Se lo que estás pensando, todo esto se puede calcular en Excel  o en una simple calculadora, de hecho también existen un montón de aplicaciones para celular, pero la idea aquí es que entiendas de dónde vienen las cosas y sepas para que sirven.

Es hora de ir entrando en calor!

Ejemplo de cálculo incertidumbre tipo A

 

Es común enfrentarse a dos posibles escenarios dentro de este método para determinar la incertidumbre. Pruebas de repetibilidad única y pruebas de respetabilidad múltiple. Veamos un ejemplo en cada una de ellas.

 

Prueba de repetibilidad única

 

En este caso se realiza una prueba de repetibilidad recopilando los valores de cada una de las mediciones realizadas.

Los valores recopilados son analizados estadísticamente. Tal análisis se puede hacer mediante un software como Excel.

En la siguiente tabla se muestran los datos y el resultado de los análisis hechos sobre los mismos. Los valores mostrados fueron asumidos con fines prácticos.

En la primera columna se indica el ensayo, en la segunda el valor de la magnitud particular, en nuestro ejemplo, el pH. En la tercera columna se muestran los componentes principales para evaluar la incertidumbre.

En el caso de Excel, la funciones para calcular el promedio y la desviación estándar son: =PROMEDIO()  y =DESVEST.M() respectivamente. En este caso, el rango de celdas que ingresas entre los paréntesis de las funciones anteriores es la lista de celdas que tienen los valores de pH.

Los grados de libertad se obtienen al restar el número de ensayos menos 1.

De esta manera una vez recopilados los datos y analizados puedes obtener la desviación estándar y con ella obtienes la incertidumbre de la medida.

 

Pruebas de repetibilidad múltiple

 

En este caso no estas evaluando una sola magnitud en particular, estas evaluando tu sistema o método de medición.

Para ello se deben de registrar los datos obtenidos en cada uno de los procedimientos realizados durante cada mes. En la siguiente tabla se indica en ejemplo de esto.

De esta manera obtienes los valores del promedio, los grados de libertad y la desviación estándar para cada grupo de datos.

Con esta serie de datos agrupados lo que debes de hacer es agrupar las desviaciones estándar de cada mes en una sola desviación estándar representativa.

Esta desviación estándar representativa se obtiene mediante el uso del método de varianza combinada.  En futuros artículos te haré una explicación sobre cómo usar tal método.

 

Componente de  incertidumbre tipo B

 

Según el VIM, este método de determinación de incertidumbre es la “evaluación de un componente de la incertidumbre de la medición determinada por medios distintos a la evaluación Tipo A”.

Dicho en otras palabras, se refiere a la determinación de la incertidumbre por métodos distintos a la evaluación estadística de una serie de observaciones realizadas directamente por el operario.

Los medios por los cuales puedes obtener información para determinar la incertidumbre de este tipo provendrán principalmente de las siguientes fuentes:

  • Certificados de calibración
  • Manuales del fabricante
  • Artículos de revista
  • Procedimientos técnicos
  • Ensayosa de aptitud
  • Libros guía
  • Guías provenientes de industrias
  • Entre otros

La evaluación de la incertidumbre a partir de esta metodología se puede presentar en varios casos, esto debido a que hay varias fuentes de incertidumbres tipo B.

En la mayoría de los casos es posible asumir una distribución de probabilidad rectangular como método para determinar las componentes de la incertidumbre típica de tipo B.

Sin embargo, nos podemos encontrar con situaciones donde otra distribución sea más conveniente que la distribución rectangular, por ejemplo una distribución triangular. Demos un vistazo a cada una de los casos para determinar la incertidumbre típica a partir de un método tipo B.

 

Incertidumbre expandida U

 

Es común que la información aportada desde algunas fuentes contenga lo que se denomina la incertidumbre expandida, simbolizada con la letra “U” mayúscula.

La incertidumbre expandida es aquella que tiene en cuenta tanto el error sistemático como el error aleatorio. Es decir, es aquella incertidumbre que acarrea consigo tanto las incertidumbres generadas por los errores sistemáticos (que se pueden corregir) como los errores aleatorios (que no se pueden corregir).

 

Factor de cobertura y nivel de confianza

 

La incertidumbre expandida es la que se obtiene al multiplicar la incertidumbre típica “u”, que ya hemos visto, por un factor llamado factor de cobertura “k”.

El factor de cobertura por su parte es un valor relacionado con un nivel de confianza. Sin recurrir a conceptos muy técnicos, el nivel de confianza nos indica el grado de seguridad de encontrar el valor medido dentro de un rango de valores establecidos con anterioridad.

 

Evaluaciones en función de la información

 

Con lo expuesto al inicio de este apartado, la información proveniente de las especificaciones del fabricante, certificados de calibración, artículos de revistas, entre otros, a menudo nos proporcionan valores como incertidumbres expandidas, factores de cobertura, rangos con un nivel de confianza, etc.

Nuestro trabajo consiste en analizar esta información y determinar que concepto o método estadístico o probabilístico usaremos para determinar los componentes de la incertidumbre, tales como la desviación estándar.

A continuación te mostraré los casos expuestos en la GUM y cómo tratar con cada uno de ellos.

Factor de cobertura e incertidumbre expandida

 

Es común que las especificaciones del fabricante o los informes de calibración nos informen estas dos variables: el factor de cobertura y la incertidumbre expandida.

En este caso, lo que debemos hacer es simplemente dividir la incertidumbre expandida entre el factor de cobertura proporcionado. De esta forma obtenemos la incertidumbre típica.

Ejemplo: un informe de calibración nos informa que el valor de la incertidumbre expandida, usando un factor de cobertura igual a 2, es igual a +/- 0.35.

La operación sería:

En este caso el valor de la incertidumbre típica de 0.175 es igual a la desviación estándar, ya que en la GUM  se expresa que la incertidumbre expandida a menudo es un múltiplo de la desviación estándar, usando como factor multiplicador el factor de cobertura.

 

Rango y nivel de confianza del 90, 95 o 99%

 

En otros casos es posible que se nos presente la incertidumbre expandida pero en vez de proporcionar el factor de cobertura nos den un nivel de confianza.

Este nivel de confianza nos indica que factor de cobertura debemos usar en nuestro cálculo.

De este modo los niveles de confianza más comunes son 90, 95 y 99%. Los factores asociados a cada uno son:

  • 90 % → k = 1.64
  • 95 % → k = 1.96
  • 99 % → k = 2.58

La ecuación a usar es la misma mostrada anteriormente. Veamos un ejemplo.

Ejemplo: tomemos el mismo valor de incertidumbre expandida del ejemplo anterior U = 0.35 para efectos prácticos. En este caso nos informan que el valor de incertidumbre ha sido estimado con un nivel de confianza del 90 %.

En este caso tomamos entonces el valor de k = 1.96  para el cálculo. La operación quedaría así:

Es frecuente que en la información de los ensayos de calibración o manuales del fabricante no se informe el nivel de confianza. En este caso se aconseja asumir un nivel de confianza del 95 %, es decir, un factor de cobertura k = 1.96.

Solo debes asumir un nivel de confianza del 99 % cuando el informe te lo proporcione, en caso contrario debes asumir un nivel de confianza del 95 %.

 

Nivel de confianza del 50%

 

No es un nivel de confianza con el que te vayas a encontrar a menudo, sin embargo vale la pena tenerlo en cuenta.

¿A qué se refiere cuando se habla de un nivel de confianza del 50%? Veamos un ejemplo en el laboratorio para reforzar el concepto de nivel de confianza.

Supongamos que estas llevando a cabo ensayos para determinar la concentración de azucares reductores de una muestra de melaza de caña azúcar.

Tienes un plazo muy corto para realizar esta actividad. Sin embargo, surge un problema con el equipo de medición. No puedes mandarlo a reparar, ni cambiarlo porque es tu última opción.

Por lo tanto debes llevar a cabo las mediciones con el equipo y lidiar con el problema asociado.

¿En qué consiste el problema del equipo? Bueno, te percatas de que uno de cada dos ensayos es incorrecto.

Más específicamente, te das cuenta de que el primer ensayo es correcto. Está dentro de un rango de 2 a 10 mg/L. Pero el segundo ensayo el valor de la medida se vuelve loco. Arroja valores fuera del rango que sabes que es el esperado, por ejemplo un valor de 50 mg/L.

Supongamos además que este error es periódico, es decir, una vez obtienes un valor correcto, el siguiente no y así sucesivamente.

En este caso puedes afirmar que tienes la seguridad de obtener un resultado en el rango especificado del 50 % de las veces que realizas el ensayo.

De esta manera, se puede afirmar que este sería un caso en el que se tiene un fenómeno experimental con un nivel de confianza del 50 %.

Como te había dicho, son casos particulares que no se presentan con frecuencia en tus ensayos.

La incertidumbre típica de estos fenómenos se calcula mediante la siguiente expresión.

Donde u es la incertidumbre típica y U es la incertidumbre expandida. El factor de cobertura es igual a 1.48.

Nivel de confianza del 67 %

 

En este caso tenemos la probabilidad de que 2 de cada 3 veces el valor determinado del proceso de medida se encuentre en el rango esperado.

Igual que en el caso anterior, es un fenómeno que suele presentarse con frecuencia dentro del laboratorio.

u = U

En este caso la incertidumbre típica  es igual a la incertidumbre expandida , ya que se asumen un factor de cobertura igual a la unidad.

Nivel de confianza del 100 %

 

En este caso se nos proporciona información con la cual podemos establecer de que el valor de la magnitud particular está contenido dentro de un rango con completa seguridad. Es decir, tenemos un 100 % de seguridad de encontrar el valor dentro de un rango definido.

Para este caso podemos asumir dos tipos de distribuciones probabilísticas.

 

Distribución de probabilidad rectangular

 

En este caso asumimos que el valor de la magnitud particular se puede encontrar dentro del rango establecido con igual probabilidad.

Esto significa que el valor tiene igual probabilidad de encontrarse en el medio del rango como en los extremos de los mismos o en cualquier otro punto del rango.

En este gráfico se muestra la forma de esta distribución.

Para este caso, el rango está definido por la resta del límite superior menos el límite inferior, a veces denominados con las letras “a” con un subíndice negativo para el límite inferior y a con subíndice positivo para el límite superior.

Para el ejemplo mostrado en la figura anterior:

En este orden de ideas, se pueden presentar dos casos para determinar la incertidumbre a partir de la asunción de una distribución rectangular.

Primer caso: tenemos la certeza de que el promedio o media aritmética se encuentre justo en la mitad del intervalo o rango . Es decir, si se cumple la siguiente condición:

Segundo caso: en el segundo caso no hay una completa seguridad para determinar si el valor esperado o promedio se encuentra en la mitad del intervalo o rango.

En este caso basta con dividir el valor del rango entre la raíz de 12 para hallar la incertidumbre típica.

Si no sabes en qué caso de la distribución rectangular te encuentras opta por usar el segundo caso, es decir, dividir sobre la raíz de 12.

 

Distribución rectangular límites asimétricos

 

Este caso se da cuando nos presentan información en donde encontramos que al asumir una distribución rectangular los límites no están distanciados del promedio a una misma longitud. Es decir:

Distribución de probabilidad trapezoidal

 

Asumir que una medida tiene una distribución rectangular no es correcto para todos los casos. Es más correcto asumir que la medida de un fenómeno, sustancia o cuerpo en particular tiende a arrojar valores cercanos a un valor promedio o esperado.

De igual manera a como se expone en el teorema del límite central. Donde se espera que las variables o experimentos se acerquen más a un punto promedio.

Por esto una alternativa a la distribución rectangular es la distribución trapezoidal. Esta distribución, como su nombre lo indica, tiene forma de trapecio.

¿Qué significa la gráfica? Nos dice que a medida que nos acercamos a los extremos la probabilidad de encontrar el valor de la medida disminuye. Es decir, es más probable que el valor de la magnitud medida se sitúe con mayor probabilidad en el rango denominado por la letra .

Esta nueva variable  representa una porción de la magnitud del rango mayor, es decir, la base del trapecio. Sus valores van desde 0 hasta 1.

Por ejemplo, si tenemos un valor de quiere decir que la parte superior del trapecio es igual a la base del mismo. Como te habrás dado cuenta, cuando  se obtiene una distribución rectangular.

La distribución rectangular no es más que un caso de la distribución trapezoidal.

Para este caso, la GUM recomienda calcular la incertidumbre típica mediante los siguientes cálculos:

 

  1. Calcular la varianza

Para determinar β tomaré los valores de la gráfica anterior para fines prácticos. Los dos extremos de la parte superior del trapecio corresponden a las coordenadas (3,5) y (7,5). Es decir que el espacio que hay entre estas dos coordenadas en el eje x es de 4 unidades.

Determino el porcentaje de esa línea o parte superior del trapecio respecto de la base. El valor de la base resulta de restar el límite superior menos el límite inferior.

El valor de  α se determina como la distancia que hay entre el promedio a uno de los limites. Cabe señalar que para este caso la distancia del límite inferior al promedio es la misma que la del límite superior.

Para nuestro ejemplo, α es igual a 3.  

2. Calcular la desviación estándar

Al valor obtenido en el paso 1 se le aplica la raíz cuadrada. Así se obtiene la desviación estándar, que para este caso se asume como la incertidumbre típica calculada.

Distribución de probabilidad triangular

 

Este también es un caso de la distribución trapezoidal. En este caso el valor de β es igual a cero. Al tomar este valor, la distribución se transforma en un triángulo, de ahí su nombre.

Cuando se realiza una recopilación de datos y se describen mediante este tipo de distribución la GUM  recomienda usar la siguiente expresión:

De esta manera, hemos desarrollado una explicación de los métodos que puedes emplear al momento de determinar la incertidumbre por métodos distintos a procesos de repetibilidad.

Como ya mencioné en apartados anteriores, cada una de estas herramientas se implementa en función del tipo de información que tengamos a disposición.

Y más importante aún se usa de acuerdo a nuestros criterios y conocimientos. Por esto es importante reconocer todos estos escenarios y determinar cuál de ellos se adecua más a nuestro procedimiento.

 

Conclusión

 

Te he mostrado los principales métodos mediante los cuales es posible determinar la incertidumbre de la medida. Pasando por los métodos tipo A y tipo B te darás cuenta que hemos planteado las bases para entender cómo funcionan tales métodos.

Sin embargo, te habrás dado cuenta que  cubrir todos estos temas en un solo artículo es prácticamente imposible. Por ello te recomiendo ahondar en cada uno de ellos para un mejor entendimiento.

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Hasta la próxima!

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